Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60．

（1）求⊙O的直徑；

（2）若D是AB延長線上一點，連結CD，當BD長為多少時，CD與⊙O相切；

（3）若動點E以2cm/s的速度從點A出發沿著AB方向運動，同時動點F以1cm/s的速度從點B出發沿BC方向運動，設運動時間為t(s)(0<t<2)，連結EF，當t為何值時，△BEF為直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）4cm；（2）2cm；（3）t＝1s或t＝1.6s時

【解析】試題分析：（1）先根據圓周角定理可得∠ACB＝90，再由∠ABC＝60可得∠BAC＝30，再根據含30°角的直角三角形的性質即可求得結果；

（2）連結OC，根據切線的性質可得∠OCD＝90，根據圓周角定理可得∠COD＝60，從而可得∠D＝30 ，再根據含30°角的直角三角形的性質即可求得結果；

（3）根據題意得BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm，分∠ＥＦＢ＝90與∠ＦＥＢ＝90兩種情況結合相似三角形的性質即可求得結果.

（1）∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB＝90

∵∠ABC＝60

∴∠BAC＝180－∠ACB－∠ABC＝30

∴AB＝2BC＝4cm，即⊙O的直徑為4cm；

（2）如圖，連結OC.

∵CD切⊙O于點C，

∴CD⊥CO

∴∠OCD＝90

∵∠BAC＝30

∴∠COD＝2∠BAC＝60.

∴∠D＝180－∠COD－∠OCD＝30

∴OD＝2OC＝4cm

∴BD＝OD－OB＝4－2＝2cm

∴當BD長為2cm時，CD與⊙O相切；

（3）根據題意，得BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；

如圖，當∠ＥＦＢ＝90時，△BEF為直角三角形，

∵∠ＥＦＢ＝∠ＡＣＢ，∠B＝∠B

∴△BEF∽△BAC

∴，即，解得t＝1.

如圖，當∠ＦＥＢ＝90時，△BEF為直角三角形，

∵∠ＦＥＢ＝∠ＡＣＢ，∠B＝∠B，

∴△BEF∽△BCA.

∴，即，解得t＝1.6.

∴當t＝1s或t＝1.6s時，△BEF為直角三角形．