Question

【題目】如圖,平面直角坐標系中,點A(6 ,0),點B(0,18),∠BAO=60°，射線AC平分∠BAO交y軸正半軸于點C.

(1)求點C的坐標；

(2)點N從點A以每秒2個單位的速度沿線段AC向終點C運動,過點N作x軸的垂線,分別交線段AB于點M,交線段AO于點P,設線段MP的長度為d,點P的運動時間為t,請求出d與t的函數關系式(直接寫出自變量t的取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，將△ABO沿y軸翻折，點A落在x軸正半軸上的點E，線段BE交射線AC于點D，點Q為線段OB上的動點，當△AMN與△OQD全等時，求出t值并直接寫出此時點Q的坐標.

Answer 1

【答案】(1)(0,6)；(2 )d=3t(0<t6)；S=4t-32(t>8)；(3) t=3,此時Q(0,6)；t=3,此時Q(0,18)

【解析】

（1）首先證明∠BAO=60°，在Rt△ACO中，求出OC的長即可解決問題；

（2）理由待定系數法求出直線AB的解析式，再求出點P的坐標即可解決問題；

（3）由（1）可知，∠NAM=∠NMA=30°，推出△AMN是等腰三角形，由當△AMN與△OQD全等，∠DOC=30°，①當∠QDO=30°時，△AMN與△OQD全等，

此時點Q與C重合，當AN=OC時，△ANM≌△OQC，②當∠OQD=30°，△AMN與△OQD全等，此時點Q與B重合，OD=AN=6，分別求出t的值即可；

(1)在Rt△AOB中,∵OA=6，OB=18，

∴tan∠BAO= =,

∴∠BAO=60°，

∵AC平分∠BAO，

∴∠CAO= ∠BAO=30°，

∴OC=OAtan30°=6 =6，

∴C(0,6).

(2)如圖1中，設直線AB的解析式為y=kx+b，

則有 ，

∴ ，

∴直線AB的解析式為y=x+18，

∵AN=2t，

∴AM=t，

∴OM=6t，

∴M(t6,0)，

∴點P的縱坐標為y= (t6)+18=3t，

∴P(t6,3t)，

∴d=3t(0<t6).

(3)如圖2中，

由(1)可知,∠NAM=∠NMA=30°，

∴△AMN是等腰三角形，

∵當△AMN與△OQD全等,∠DOC=30°，

∴①當∠QDO=30°時，△AMN與△OQD全等，

此時點Q 與C重合,當AN=OC時,△ANM≌△OQC，

∴2t=6，

t=3,此時Q(0,6).

②當∠OQ D=30°，△AMN與△OQD全等,此時點Q與B重合,OD=AN=6，

∴2t=6，

∴t=3,此時Q(0,18).