Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，點D、點E分別從點B、點C同時出發，在線段BC上作等速運動，到達C點、B點后運動停止．

（1）求證：△ABE≌△ACD；

（2）若AB＝BE，求∠DAE的度數；

拓展：若△ABD的外心在其內部時，求∠BDA的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；拓展：

【解析】

（1）由題意得BD=CE，得出BE=CD，證出AB=AC，由SAS證明△ABE≌△ACD即可；

（2）由等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出∠BEA=∠EAB=70°，證出AC=CD，由等腰三角形的性質得出∠ADC=∠DAC=70°，即可得出∠DAE的度數；

拓展：對△ABD的外心位置進行推理，即可得出結論．

（1）證明：∵點D、點E分別從點B、點C同時出發，在線段BC上作等速運動，

∴BD=CE，

∴BC-BD=BC-CE，即BE=CD，

∵∠B=∠C=40°，

∴AB=AC，

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（SAS）；

（2）解：∵∠B=∠C=40°，AB=BE，

∴∠BEA=∠EAB=(180°-40°)=70°，

∵BE=CD，AB=AC，

∴AC=CD，

∴∠ADC=∠DAC=(180°-40°)=70°，

∴∠DAE=180°-∠ADC-∠BEA=180°-70°-70°=40°；

拓展：

解：若△ABD的外心在其內部時，則△ABD是銳角三角形．

∴∠BAD=140°-∠BDA＜90°．

∴∠BDA＞50°，

又∵∠BDA＜90°，

∴50°＜∠BDA＜90°．