Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點D是BC邊的中點，作射線DE，與邊AB交于點E，射線DE繞點D順時針旋轉120°，與直線AC交于點F．

（1）依題意將圖1補全；

（2）小華通過觀察、實驗提出猜想：在點E運動的過程中，始終有DE=DF．小華把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：由點D是BC邊的中點，通過構造一邊的平行線，利用全等三角形，可證DE=DF；

想法2：利用等邊三角形的對稱性，作點E關于線段AD的對稱點P，由∠BAC與∠EDF互補，可得∠AED與∠AFD互補，由等角對等邊，可證DE=DF；

想法3：由等腰三角形三線合一，可得AD是∠BAC的角平分線，由角平分線定理，構造點D到AB，AC的高，利用全等三角形，可證DE=DF…….

請你參考上面的想法，幫助小華證明DE=DF（選一種方法即可）；

（3）在點E運動的過程中，直接寫出BE，CF，AB之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）將圖1補全見解析；

（2）證明見解析；

（3）數量關系：當點F在AC邊上時， ；

當點F在AC延長線上時， ．

【解析】試題分析：（1）根據要求畫出圖形即可；（2）選擇一種自己比較熟練的方法進行證明即可；（3）本題分點F在AC邊上，點F在AC延長線上，兩種情況分析即可.

試題解析：解：（1）如圖1，

（2）

想法1證明：如圖2，過D作DG∥AB，交AC于G，

∵點D是BC邊的中點，

∴DG=AB．

∴△CDG是等邊三角形．

∴∠EDB+∠EDG=120°．

∵∠FDG+∠EDG=120°，

∴∠EDB =∠FDG．

∵BD=DG，∠B=∠FGD=60°，

∴△BDE≌△GDF．

∴DE=DF．

想法2證明：如圖3，連接AD，

∵點D是BC邊的中點，

∴AD是△ABC的對稱軸．

作點E關于線段AD的對稱點P，點P在邊AC上，

∴△ADE≌△ADP．

∴DE=DP，∠AED=∠APD．

∵∠BAC+∠EDF=180°，

∴∠AED+∠AFD=180°．

∵∠APD+∠DPF=180°，

∴∠AFD=∠DPF．

∴DP=DF．

∴DE=DF．

想法3證明：如圖4，連接AD，過D作DM⊥AB于M，DN⊥AB于N，

∵點D是BC邊的中點，

∴AD平分∠BAC．

∵DM⊥AB于M，DN⊥AB于N，

∴DM=DN．

∵∠A=60°，

∴∠MDE+∠EDN=120°．

∵∠FDN+∠EDN=120°，

∴∠MDE=∠FDN．

∴Rt△MDE≌Rt△NDF．

∴DE=DF．

（3）當點F在AC邊上時， ；

當點F在AC延長線上時， ．