Question

【題目】如圖1，菱形ABCD中，AB=10，連接BD，tan∠ABD= ，若P是射線BC上的一個動點（點P不與點B重合），連接AP，與對角線相交于點E，連接EC．

（1）求證：AE=CE；
（2）當點P在線段BC上時，設BP=x，S△EPC=y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）當點P在線段BC的延長線上時，若△EPC是直角三角形，求線段BP的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴BA=BC，∠ABE=∠CBE．

在△ABE和△CBE中， ，

又∵BE=BE，

∴△ABE≌△CBE

∴AE=CE

（2）解：連接AC，交BD于點O，過點A作AH⊥BC，過點E作EF⊥BC，如圖1所示：

垂足分別為點H、F．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

∵AB=10，tan∠ABD= = ，

∴AO=OC=2 ，BO=OD=4 ，AC=4 ，BD=8 ，

∵ ACBD=BCAH，

∴AH=8，∴BH= =6．

∵AD∥BC

∴ ，

∴ ，

∴ = ，

∴ = ．

∵EF∥AH，

∴ ，

∴EF= ．

∴y= PC′EF= （10﹣x） = ，

即y═ ，（0＜x＜10）

（3）解：因為點P在線段BC的延長線上，所以∠EPC不可能為直角．如圖2所示：

①當∠ECP=90°時

∵△ABE≌△CBE，

∴∠BAE=∠BCE=90°，

∵cos∠ABP= = ，即

∴BP= ．

②當∠CEP=90°時，

∵△ABE≌△CBE，

∴∠AEB=∠CEB=45°，

∴AO=OE=2 ，

∴ED=2 ，BE=6 ．

∵AD∥BP，

∴ ，

∴ ，

∴BP=30．

綜上所述，當△EPC是直角三角形時，線段BP的長為 或30．

【解析】（1）根據菱形的性質得出BA=BC，∠ABD=∠CBD．由SAS證明△ABE≌△CBE，即可得出結論．
（2）連結AC，交BD于點O，過點A作AH⊥BC于H，過點E作EF⊥BC于F，由菱形的對角線互相垂直，得出AC⊥BD，利用解直角三角形求出AC，BD的長再根據菱形面積= ACBD=BCAH，得出AH=8，BH=6，由相似三角形的性質（平行線分線段成比例）得出比例式，求出EF的長，即可得出答案。
（3）因為點P在線段BC的延長線上，所以∠EPC不可能為直角．分情況討論：①當∠ECP=90°時和②當∠CEP=90°時，通過證三角形全等和相似，由全等三角形的性質、相似三角形的性質即可得出答案。
【考點精析】關于本題考查的菱形的性質和平行線分線段成比例，需要了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例才能得出正確答案．