Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，若將△ABC繞點C順時針旋轉180°，得到△FEC

（1）猜想AE與BF有何關系，說明理由．

（2）若△ABC的面積為3cm2，求四邊形ABFE的面積．

（3）當∠ACB為多少度時，四邊形ABFE為矩形？

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF，AE=BF（平行四邊形的對邊平行且相等）；

（2）S四邊形ABFE=12cm2；

（3）當∠ACB=60°時，四邊形ABFE為矩形．

【解析】

試題分析：（1）由△ABC繞點C順時針旋轉180°可知：AC=CF，BC=CE，四邊形ABFE為平行四邊形，于是得到結論；

（2）由于AC是△ABE的BE邊上中線，于是得到S△ABE=2S△ABC=6，同理S△BEF=2S△CEF=6，即可得到結論；

（3）要判斷四邊形ABFE為矩形，從對角線來看，要求AF=BE，又AF與BE互相平分，只需要AC=BC，而AB=AC，故△ABC為等邊三角形，∠ACB=60°．

試題解析：（1）AE∥BF，AE=BF．

理由是：∵△ABC繞點C順時針旋轉180°得到△FEC，

∴△ABC≌△FEC，

∴AB=FE（全等三角形的對應邊相等），

∠ABC=∠FEC（全等三角形的對應角相等），

∴AB∥FE（內錯角相等，兩直線平行），

∴四邊形ABFE為平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

∴AE∥BF，AE=BF（平行四邊形的對邊平行且相等）；

（2）由（1）得四邊形ABFE為平行四邊形，

∴AC=CF，BC=CE，

∴根據等底同高得到S△ABC=S△ACE=S△BCF=S△CEF=3，

S四邊形ABFE=4S△ABC=12cm2；

（3）當∠ACB=60°時，四邊形ABFE為矩形．

理由是：AB=AC，∠ACB=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠BAC=60°，

∴∠ACE=120°．

又BC=CE，AC=CF，

∴∠EAC=∠CEA=30°，

∴∠BAE=90°，同理可證其余三個角也為直角．

∴四邊形ABFE為矩形．