Question

【題目】如圖①，已知正方形ABCD的邊長為1，點P是AD邊上的一個動點，點A關于直線BP的對稱點是點Q，連接PQ、DQ、CQ、BQ，設AP＝x．

（1）BQ＋DQ的最小值是_______，此時x的值是_______；

（2）如圖②，若PQ的延長線交CD邊于點E，并且∠CQD＝90°．

①求證：點E是CD的中點； ②求x的值．

（3）若點P是射線AD上的一個動點，請直接寫出當△CDQ為等腰三角形時x的值．

Answer 1

【答案】（1），;(2) ①理由詳見解析；②;(3) 2﹣或或2+．

【解析】

試題分析：(1)根據兩點之間,線段最短可知,點Q在線段BD上時BQ＋DQ的值最小,是BD的長度,利用勾股定理即可求出;再根據△PDQ是等腰直角三角形求出x的值;

(2) ①由對稱可知AB=BQ=BC,因此∠BCQ=∠BQC.根據∠BQE=∠BCE=90°,可知∠EQC=∠ECQ,從而EQ=EC.再根據∠CQD=90°可得∠DQE+∠CQE=90°, ∠QCE+∠QDE=90°,而∠EQC=∠ECQ, 所以∠QDE=∠DQE，從而EQ=ED.易得點E是CD的中點；②在Rt△PDE中，PE= PQ+QE=x+，PD=1﹣x，PQ=x，根據勾股定理即可求出x的值.

(3) △CDQ為等腰三角形分兩種情況:①CD為腰,以點C 為圓心,以CD的長為半徑畫弧,兩弧交點即為使得△CDQ為等腰三角形的Q點; ②CD為底邊時,作CD的垂直平分線,與的交點即為△CDQ為等腰三角形的Q點,則共有 3個Q點,那么也共有3個P點,作輔助線,利用直角三角形的性質求之即得.

試題解析：（1），．

（2）①證明：在正方形ABCD中，

AB=BC，∠A=∠BCD=90°．

∵Q點為A點關于BP的對稱點，

∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，

∴QB=BC，∠BQE=∠BCE，

∴∠BQC=∠BCQ，

∴∠EQC=∠EQB﹣∠CQB=∠ECB﹣∠QCB=∠ECQ，

∴EQ=EC．

在Rt△QDC中，

∵∠QDE=90°﹣∠QCE，

∠DQE=90°﹣∠EQC，

∴∠QDE=∠DQE，

∴EQ=ED，

∴CE=EQ=ED，即E為CD的中點．

②∵AP=x，AD=1，

∴PD=1﹣x，PQ=x，CD=1．

在Rt△DQC中，

∵E為CD的中點，

∴DE=QE=CE=，

∴PE=PQ+QE=x+，

∴，

解得 x=．

（3）△CDQ為等腰三角形時x的值為2-，，2+．

如圖，以點B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，以點C為圓心，以CD的長為半徑畫弧，兩弧分別交于Q1，Q3．此時△CDQ1，△CDQ3都為以CD為腰的等腰三角形．作CD的垂直平分線交弧AC于點Q2，此時

△CDQ2以CD為底的等腰三形．

以下對此Q1，Q2，Q3．分別討論各自的P點，并求AP的值．

討論Q:如圖作輔助線，連接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，過點Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F．

∵△BCQ1為等邊三角形，正方形ABCD邊長為1，

∴，．

在四邊形ABPQ1中，

∵∠ABQ1=30°，

∴∠APQ1=150°，

∴△PEQ1為含30°的直角三角形，

∴PE=．

∵AE=，

∴x=AP=AE-PE=2-．

②討論Q2，如圖作輔助線，連接BQ2，AQ2，過點Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，連接BP，過點Q2作EF⊥CD于E，交AB于F．

∵EF垂直平分CD，

∴EF垂直平分AB，

∴AQ2=BQ2．

∵AB=BQ2，

∴△ABQ2為等邊三角形．

在四邊形ABQP中，

∵∠BAD=∠BQP=90°, ∠ABQ=60°,

∴∠APE=120°

∴∠EQ2G=∠DPG=180°-120°=60°，

∴，

∴EG=，

∴DG=DE+GE=-1，

∴PD=1-，

∴x=AP=1-PD=．

③對Q3，如圖作輔助線，連接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，過點Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延長線于P，連接BP，過點Q1，作EF⊥AD于E，此時Q3在EF上，不妨記Q3與F重合．

∵△BCQ1為等邊三角形，△BCQ3為等邊三角形，BC=1，

∴，，

∴．

在四邊形ABQ3P中

∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，

∴∠EPF=30°，

∴EP=,EF=．

∵AE=，

∴x=AP=AE+PE=+2．

綜上所述，△CDQ為等腰三角形時x的值為2﹣，，2+．