Question

【題目】如圖，拋物線L：y=﹣ （x﹣t）（x﹣t+4）（常數t＞0）與x軸從左到右的交點為B，A，過線段OA的中點M作MP⊥x軸，交雙曲線y= （k＞0，x＞0）于點P，且OAMP=12．

（1）求k的值；
（2）當t=1時，求AB長，并求直線MP與L對稱軸之間的距離；
（3）把L在直線MP左側部分的圖象（含與直線MP的交點）記為G，用t表示圖象G最高點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設P（x，y）則MP=y，

∵M為OA的中點，

∴OA=2x，

∵OAMP=12，

∴2xy=12，

∴xy=6，

∴k=6

（2）

解：當t=1，y=0時，0=﹣ （x﹣1）（x﹣1+4），解得x=1或x=﹣3，

∴A（1，0）、B（﹣3，0），

∴AB=4；

∴拋物線L的對稱軸為直線x= =﹣1，

∵OA=1，

∴MP為直線x= ，

∴直線MP與L對稱軸之間的距離為

（3）

解：在y=﹣ （x﹣t）（x﹣t+4）中，令y=0可得﹣ （x﹣t）（x﹣t+4）=0，解得x=t或x=t﹣4，

∴A（t，0），B（t﹣4，0），

∴拋物線L的對稱軸為直線x= =t﹣2，

又∵MP為直線x= ，

∴當拋物線L的頂點在直線MP上或左側時，即t﹣2≤ 時，解得t≤4，此時，頂點（t﹣2，2）為圖象G最高點的坐標；

當拋物線L的頂點在直線MP右側時，即t﹣2＞ 時，解得t＞4，此時時，交點直線MP與拋物線L的交點為（ ，﹣ t2+t），為圖象G最高點的坐標

【解析】（1）設P（x，y），則可表示出MP，由M為OA的中點，可求得OA，由條件可求得xy，則可求得k的值；（2）把t=1，代入拋物線解析式，令y=0可求得A、B兩點的坐標，可求得AB的長，再求得拋物線的對稱軸和直線MP的方程，可求得直線MP與對稱軸之間的距離；（3）可用t表示出A、B兩點的坐標，進一步可表示出直線MP的解析式，再根據頂點的位置可求得其最大值，可表示出G的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解反比例函數的概念的相關知識，掌握形如y＝k/x（k為常數，k≠0）的函數稱為反比例函數．自變量x的取值范圍是x不等于0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數，以及對反比例函數的圖象的理解，了解反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點．