Question

【題目】已知λ∈R，函數f（x）=ex﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的導數為g（x）．
（1）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數g（x）存在極值，求λ的取值范圍；
（3）若x≥1時，f（x）≥0恒成立，求λ的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：）f（x）=ex﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的定義域為（0，+∞）．

f′（x）=ex﹣e﹣λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0．

曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=0

（2）解：∵g（x）=f′（x）=ex﹣e﹣λlnx，（x＞0），g′（x）=

函數g（x）存在極值，即方程 有正實數根，

λ=xex，（x＞0），

令G（x）=xex，G′（x）=x（ex+1）＞0在（0，+∞）恒成立．

x∈（0，+∞）時，G（x）＞0，

∴函數g（x）存在極值，λ的取值范圍為（0，+∞）

（3）解：由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0

結合（2）x≥1時，g′（x）= ≥0，可得λ≤xex，（x≥1），

G（x）=xex，在（1，+∞）恒成立．

∴λ≤e時，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）遞增，g（x）≥g（1）=0

故f（x）在[1，+∞）遞增，∴f（x）≥f（1）=0．

當λ＞e時，存在x0＞1，使g′（x）=0，∴x∈（1，x0）時，g′（x）＜0，

即x∈（1，x0）時，g（x）遞減，而g（1）=0，

∴x∈（1，x0）時，g（x）＜0，此時f（x）遞減，而f（1）=0，

∴在（1，x0），f（x）＜0，故當λ＞e時，f（x）≥0不恒成立；

綜上x≥1時，f（x）≥0恒成立，λ的最大值為e

【解析】（1）求出f′（x）=ex﹣e﹣λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0，得到曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=0．（2）g（x）=f′（x）=ex﹣e﹣λlnx（x＞0），g′（x）= ，函數g（x）存在極值，即方程 有正實數根，λ=xex ， （x＞0），可得λ的取值范圍．（3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0，結合（2）分λ≤e，λ＞e，討論x≥1時，是否f（x）≥0恒成立，即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．