Question

如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點出發，沿x軸向右以每秒2個單位長的速度運動t（t＞0）秒，拋物線y=-x²+bx+c經過原點O和點P，頂點為M．矩形ABCD的一邊CD在x軸上，點C與原點重合，CD=4，BC=9，在點P運動的同時，矩形ABCD沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動．
（1）求出拋物線的解析式（用含t的代數式表示）；
（2）若（1）中的拋物線經過矩形區域ABCD（含邊界）時，求出t的取值范圍；
（3）當t=4秒時，過線段MP上一動點F作y軸的平行線交拋物線于E，求線段EF的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別將點（0，0），（2t，0）代入二次函數解析式，即可得出拋物線的解析式；
（2）尋找兩個臨界點，①剛開始的時候，②拋物線經過點A的時候，分別求出此時t的值，繼而可得出t的取值范圍；
（3）先確定函數解析式，然后得出直線MP的解析式，設出點E、F的坐標，則EF之間的距離可表示為二次函數的形式，然后運用配方法求最值即可．
解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=-x²+bx+c中，得c=0，
再把x=2t，y=0代入y=-x²+bx中，得b=2t
故拋物線的解析式為y=-x²+2tx．

（2）∵t＞0，
∴在點P和矩形ABCD開始運動時就經過矩形區域ABCD，
當拋物線經過點A時，將A（t+4，9）代入y=-x²+2tx中，得-（t+4）²+2t（t+4）=9，
整理，解方程得：t₁=-5（舍去），t₂=5，
即可得當t＞5時，拋物線不在經過矩形區域ABCD，
綜上可得t的范圍為：0＜t≤5，

（3）如圖，當t=4秒時，此時點D和點P重合，拋物線的解析式為y=-x²+8x．
設直線MP的解析式為y=kx+b，
∵點M（4，16）和點P（8，0）在直線MP上，
∴，
得，
∴直線MP的解析式為y=-4x+32；
設F（m，-4m+32），則E（m，-m²+8m），
∵點F在線段MP上運動，
∴4≤m≤8，
∴EF=-m²+8m-（-4m+32）=-m²+12m-32，
∴當m=-=6時，EF=，
∴線段EF的最大值是4．
點評：此題屬于二次函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式，解答第二問的時候關鍵是求出兩個邊界點，第三問的解答中要求出直線MP的解析式，利用二次函數的最值法求解．