Question

【題目】如圖所示，CD為⊙O的直徑，點B在⊙O上，連接BC、BD，過點B的切線AE與CD的延長線交于點A，OE∥BD，交BC于點F，交AB于點E.

(1)求證：∠E＝∠C；

(2)若⊙O的半徑為3，AD＝2，試求AE的長；

(3)求△ABC的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）10；（3）

【解析】試題分析：（1）連接OB，利用已知條件和切線的性質證明：OE∥BD，即可證明：∠E=∠C；

（2）根據題意求出AB的長，然后根據平行線分線段定理，可求解；

（3）根據相似三角形的面積比等于相似比的平方可求解.

試題解析：（1）如解圖，連接OB，

∵CD為⊙O的直徑，

∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，

∵AB是⊙O的切線，

∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，

∴∠ABD＝∠CBO.

∵OB、OC是⊙O的半徑，

∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.

∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，

∴∠E＝∠C；

（2）∵⊙O的半徑為3，AD＝2，

∴AO＝5，∴AB＝4.

∵BD∥OE，

∴＝，

∴＝，

∴BE＝6，AE=6+4=10

（3）S△AOE==15，然后根據相似三角形面積比等于相似比的平方可得

S△ABC= S△AOE==