Question

【題目】閱讀下面材料，完成（1），（2）兩題

數學課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，在中，，，點為上一點，且滿足，為上一點，，延長交于，求的值．同學們經過思考后，交流了自己的想法：

小明：“通過觀察和度量，發現與相等．”

小偉：“通過構造全等三角形，經過進一步推理，就可以求出的值．”

……

老師：“把原題條件中的‘’，改為‘’其他條件不變（如圖2），也可以求出的值．

（1）在圖1中，①求證：；②求出的值；

（2）如圖2，若，直接寫出的值（用含的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②；（2）

【解析】

（1）①根據三角形內角和定理可得，然后根據三角形外角的性質可得，從而證出結論；

②過點作交的延長線于點，過點作于點，過點作交于點，利用ASA證出，可得，再利用AAS證出，可得，利用平行線分線段成比例定理即可證出結論；

（2）根據三角形內角和定理可得，然后根據三角形外角的性質可得，過點作交的延長線于點，過點作于點，過點作交于點，利用ASA證出，可得，再利用相似三角形的判定證出，可得，利用平行線分線段成比例定理即可證出結論；

證明：（1）①∵，

∴

∵，

∴，

∴

②如圖，過點作交的延長線于點，過點作于點，過點作交于點，

∵，，

∴，

∴，

∵

∴，

∴

∵點是中點，

∴

∵，

∴，

∴

∵

∴，

∴

∵

∴

（2）∵，

∴

∵，

∴，

∴

過點作交的延長線于點，過點作于點，過點作交于點，

∵，，

∴，

∴，

∵

∴，

∴

∵，

∴

∵，

∴，

∴

∴

∵

∴，

∴

∵

∴