Question

【題目】如圖，是邊長為的正方形對角線上一動點（與、不重合），點在線段上，且．

求證：①；②；

設，的面積為．

①求出關于的函數關系式，并寫出的取值范圍；

②當取何值時，取得最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①．．②當時，．

【解析】

（1）可通過構建全等三角形來求解．過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，那么可通過證三角形GPD和EFP全等來求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根據等腰三角形三線合一的特點可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出兩三角形的另一組對應邊DG，PF相等，因此可得出兩直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．

（2）求三角形PBE的面積，就要知道底邊BE和高PF的長，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的長，那么就知道了底邊BE的長，而高PF=CD-GP，也就可求出PF的長，可根據三角形的面積公式得出x，y的函數關系式．然后可根據函數的性質及自變量的取值范圍求出y的最大值以及對應的x的取值．

證明：①過點作，分別交、于、．如圖所示．

∵四邊形是正方形，

∴四邊形和四邊形都是矩形，

和都是等腰直角三角形．

∴，，度．

又∵，

∴，

∴，

∴．

∴．

②∴．

∴度．

∴度．

∴．

解：①過作，可得為等腰直角三角形，

四邊形為矩形，可得，

∵，∴，

∴，．

∴．

即．．

②

∵，

∴當時，．