Question

【題目】如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°．

（1）操作發現：如圖2，若∠B＝∠DEC＝30°，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB上時，填空：

①線段DE與AC的位置關系是　 　；

②設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，S1與S2的數量關系是　 　；

（2）猜想論證

當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數量關系仍然成立，請你證明小明的猜想；

（3）拓展探究

如圖4，若BC＝3，AC＝2，當△DEC繞點C旋轉的過程中，四邊形ABDE的面積是否存在最大值？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①DE∥AC；②S1＝S2；（2）成立，證明詳見解析；（3）存在，最大值為12．

【解析】

（1）①根據旋轉的性質可得AC＝CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠ACD＝60°，然后根據內錯角相等，兩直線平行解答；

②根據等邊三角形的性質可得AC＝AD，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC＝AB，然后求出AC＝BD，再根據等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據等底等高的三角形的面積相等解答；

（2）根據旋轉的性質可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；

（3）由四邊形ABDE的面積＝S△ABC+S△BDC+S△ACE+S△DCE＝2××2×3+2S△BDC，則△BDC的面積最大時，四邊形ABDE的面積最大，即可求解．

（1）①DE∥AC，

理由如下：

∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，

∴AC＝CD，

∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD＝60°，

又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，

∴∠ACD＝∠CDE，

∴DE∥AC；

②∵∠B＝30°，∠C＝90°，

∴CD＝AC＝AB，

∴BD＝AD＝AC，

根據等邊三角形的性質，△ACD的邊AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1＝S2；

故答案為：DE∥AC；S1＝S2；

（2）如圖3，作點D作DM⊥BC于M，過點A作AN⊥CE于N，

∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，

∴BC＝CE，AC＝CD，

∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，

∴∠ACN＝∠DCM，

在△ACN和△DCM中，

,

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN＝DM，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1＝S2．

（3）∵四邊形ABDE的面積＝S△ABC+S△BDC+S△ACE+S△DCE＝2××2×3+2S△BDC，

∴△BDC的面積最大時，四邊形ABDE的面積最大，

∴當CD⊥BC時，△BDC的面積最大值為×2×3＝3，

∴四邊形ABDE的面積最大值＝2××2×3+2×3＝6+6＝12．