Question

【題目】如圖，等腰中，，，于點，點是延長線一點，點是線段上一點，.

(1)已知，求的度數；

(2)求證：是等邊三角形；

(3)求證：.

Answer 1

【答案】（1）12°；（2）證明見詳解；（3）證明見詳解.

【解析】

（1）連接OB,根據等腰三角形的性質可得OB=OC,再利用等邊對等角可得∠APO=∠ABO,∠OBD=∠OCD,則∠APO+∠OCD=∠ABO+∠OBD=∠ABD,據此即可求解；

（2）證明∠POC =60°且OP=OC,即可證明是等邊三角形；

（3）先證明∠APO=∠CPE,利用SAS即可證明,則AO=CE,即AC=AE+CE=AO+AP.

（1）如圖所示，連接OB,

∵，，,

∴BD=CD,∠BAD=∠BAC=60°,

∴OB=OC,∠ABC=30°,

∵OP=OC,

∴OP=OC=OB,

∴∠APO=∠ABO,∠OBD=∠OCD,

∴∠APO+∠OCD=∠ABO+∠OBD=∠ABD,

∵∠ABD=30°,∠APO=18°,

∴∠DCO=∠ABD-∠APO=30°-18°=12°;

(2)∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°,

∴∠APC+∠DCP=150°,

∵∠APO+∠DCO=30°,

∴∠OPC+∠OCP=120°,

∴∠POC=180°-∠OPC-∠OCP=60°,

∵OP=OC,

∴是等邊三角形；

（3）如圖所示，在AC上截取AE=PA,連接PE,

∵∠PAE=180°-∠BAC=60°,

∴是等邊三角形，

∴∠PEA=∠APE=60°,PE=PA,

∴∠APO+∠OPE=60°,

∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°,

∴∠APO=∠CPE,

又∵OP=CP,PA=PE,

∴(SAS),

∴AO=CE,

∴AC=AE+CE=AO+AP.