Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正方形中心在原點，且頂點的坐標為．動點分別從點同時出發，繞著正方形的邊按順時針方向運動，當點回到點時兩點同時停止運動，運動時間為秒．連接，線段、與正方形的邊圍成的面積較小部分的圖形記為．

（1）請寫出點的坐標．

（2）若的速度均為1個單位長度秒，試判斷在運動過程中，的面積是否發生變化，如果不變求出該值，如果變化說明理由．

（3）若點速度為2個單位長度秒，點為1個單位長度/秒，當的面積為時，求的值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）不變，理由詳見解析；（3）或

【解析】

(1)利用正方形的性質，結合B、C、D的位置寫出坐標即可；
(2)只要證明△OAP≌△OBQ，可得S△OAP=S△OBQ，推出SM=S△OAB= S正方形ABCD=1；
(3)分兩種情形：①當點P在線段AB上，點Q在線段BC上時，②當點P、Q在CD上時，分別構建方程即可解決問題；

解：(1)由題意B(1,1)，C(1,1)，D(1,1)；
(2)M的面積不發生變化．
理由：如圖，連接OA、OB．

∵四邊形ABCD是正方形，O是正方形的中心，
∴OA=OB，∠OAP=∠OBQ=45°，
∵AP=BQ，
∴△OAP≌△OBQ，
∴S△OAP=S△OBQ，
∴SM=S△OAB= S正方形ABCD=1，
∴M的面積S是定值，定值為1．
(3)①當點P在線段AB上，點Q在線段BC上時，連接OB，

由題意得：SM=S△OBP+ S△OBQ=，即(22t)1+t1=，
解得t=；
②當點P、Q在CD上時，

由題意得：SM=S△OPQ=，即(2tt1)·1=，
解得t=，
綜上所述，t=或時，M的面積為．