Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，過點O作EF∥AB交BC于點F，交AC于點E，過點O作OD⊥BC于D，下列四個結論：①∠AOB=90°+∠C；②AE+BF=EF；③當∠C=90°時，E、F分別是AC、BC的中點；④若OD=CE+CF=則S△CEF=,其中正確的是______________

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據三角形的內角和定理可得∠BAC+∠ABC=180°-∠C，再根據角平分線的定義可得∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC），然后根據三角形的內角和定理列式整理即可得解，判斷出①正確；由平行線的性質和角平分線的定義得出△BFO和△AEO是等腰三角形得出AE+BF=EF故②正確；根據角平分線的定義判斷出點O在∠ACB的平分線上，從而得到點O不是∠ACB的平分線的中點，然后判斷出③錯誤；根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點O到AC的距離等于OD，再利用三角形的面積公式列式計算即可得到S△CEF=ab，判斷出④正確．

在△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-∠C，

∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，

∴∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=90°-∠C，

在△AOB中，∠AOB=180°-（90°-∠C）=90°+∠C，故①正確；

∵在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，

∴∠OBC=∠OBA，∠OAE=∠OAB，

∵EF∥AB，

∴∠OBA=∠BOF，∠BAO=∠AOE，

∴∠BOF=∠FBO，∠OAE=∠AOE，

∴FB=FO，EO=EA，

∴EF=OE+OF=BF+AE，

故②正確；

∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，

∴點O在∠ACB的平分線上，

∴點O不是∠ACB的平分線的中點，

∵EF∥AB，

∴E，F一定不是AC，BC的中點，故③錯誤；

∵點O在∠ACB的平分線上，

∴點O到AC的距離等于OD，

∴S△CEF=（CE+CF）OD=×2ba=ab，故④正確；

綜上所述，正確的是①②④

故答案為：①②④．