Question

【題目】如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD⊥CD于點D.AC平分∠DAO，E是AB延長線上一點，CE交⊙O于點F，連接OC，AC.

(1)求證：CD是⊙O的切線；

(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.

①求∠OCE的度數；②若⊙O的半徑為2，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）2－2.

【解析】

（1）由切線性質知OC⊥CD，結合AD⊥CD得AD∥OC，即可知∠DAC=∠OCA=∠OAC，從而得證；

（2）①由AD∥OC知∠EOC=∠DAO=105°，結合∠E=30°可得答案；

②作OG⊥CE，根據垂徑定理及等腰直角三角形性質知CG=FG=OG，由OC=2得出CG=FG=OG=2，在Rt△OGE中，由∠E=30°可得答案．

（1）∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OAC=∠DAC，

∴AC平分∠DAO；

（2）①∵AD∥OC，

∴∠EOC=∠DAO=105°，

∵∠E=30°，

∴∠OCE=45°；

②作OG⊥CE于點G，

則CG=FG=OG，

∵OC=2，∠OCE=45°，

∴CG=OG=2，

∴FG=2，

在Rt△OGE中，∠E=30°，

∴GE=2，

∴EF＝GEFG＝22．