Question

【題目】在菱形中，，是對角線上一點，是線段延長線上一點，且，連接、．

若是線段的中點，如圖，易證：（不需證明）；

若是線段或延長線上的任意一點，其它條件不變，如圖、圖，線段、有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；并選擇一種情況給予證明．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)．

【解析】

（1）根據菱形的性質結合∠ABC＝60°可得△ABC是等邊三角形，再根據等腰三角形三線合一的性質可得∠CBE＝∠ABC＝30°，AE＝CE，所以CE＝CF，然后等邊對等角的性質可得∠F＝∠CEF，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠F＝30°，從而得到∠CBE＝∠F，根據等角對等邊的性質即可證明；

（2）圖2，過點E作EG∥BC，交AB于點G，根據菱形的性質結合∠ABC＝60°可得△ABC是等邊三角形，然后根據等邊三角形的性質得到AB＝AC，∠ACB＝60°，再求出△AGE是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到AG＝AE，從而可以求出BG＝CE，再根據等角的補角相等求出∠BGE＝∠ECF＝120°，然后利用“邊角邊”證明△BGE和△ECF 全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；圖3，證明思路與方法與圖2完全相同．

∵四邊形為菱形，

∴，

又∵，

∴是等邊三角形，

∵是線段的中點，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

圖．

圖．

圖證明如下：過點作，交于點，

∵四邊形為菱形，

∴，

又∵，

∴是等邊三角形，

∴，，…

又∵，

∴，

又∵，

∴是等邊三角形，…

∴，

∴，…

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴；

圖證明如下：過點作交延長線于點，

∵四邊形為菱形，

∴，

又∵，

∴是等邊三角形，

∴，，

又∵，

∴，

又∵，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴．