Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按照C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)速度為每秒2cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.

（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀，說明理由

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP是以BC為腰的等腰三角形，求出t的值

（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)， 當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為，直接寫出t的值.

Answer 1

【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見解析；（2）t=1.5或2.7或3；（3）當(dāng)t為1秒或秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為．

【解析】

（1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形；
（2）由于動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng)，故應(yīng)分點(diǎn)P在AC上與AB上兩種情況進(jìn)行討論；
（3）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為時(shí)，分四種情況討論：點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上；點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)；點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)；點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，分別求得t的值并檢驗(yàn)即可．

（1）△ABC是直角三角形．
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=25=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，CP=CB=3，則t=3÷2=1.5秒；

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，分兩種情況：

若BP=BC=3，則AP=2，
故t=（4+2）÷2=3秒；
若CP=CB=3，作CM⊥AB于M，則×AB×MC=×BC×AC，
×5×MC=×3×4，
解得CM=2.4，
∴由勾股定理可得PM=BM=1.8，即BP=3.6，
∴AP=1.4，
故t=（4+1.4）÷2=2.7秒．
綜上所述，當(dāng)t=1.5、3或2.7 時(shí)，△BCP是以BC為腰的等腰三角形．
故答案為：t=1.5或2.7或3；

（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（0≤t≤2），
由勾股定理可得：（2t）2+t2=5，
解得t=1；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)（3≤t＜4），
由題可得：12-2t-t=，
解得t= ；

③當(dāng)點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)（4＜t≤4.5），
由題可得：2t+t-12=，
解得t=，
∵t=＞4.5，
∴不成立，舍去．
④當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，PQ的長(zhǎng)不合題意；
綜上所述，當(dāng)t為1秒或秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為．