Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A的坐標為，以線段OA為邊作等邊三角形，使點B落在第四象限內，點C為x正半軸上一動點，連接BC，以線段BC為邊作等邊三角形，使點D落在第四象限內.

（1）如圖1，在點C運動的過程巾，連接AD.

①和全等嗎？請說明理由：

②延長DA交y軸于點E，若，求點C的坐標：

（2）如圖2，已知，當點C從點O運動到點M時，點D所走過的路徑的長度為_________

Answer 1

【答案】（1）①全等，見解析；②點C（6，0）；（2）6．

【解析】

（1）①先根據等邊三角形的性質得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，則∠OBC=∠ABD，然后可根據“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
②由全等三角形的性質可得∠BAD=∠BOC=∠OAB=60°，可得∠EAO=60°，可求AE=2OA=4，即可求點C坐標；
（2）由題意可得點E是定點，點D在AE上移動，點D所走過的路徑的長度=OC=6．

解：（1）①△OBC和△ABD全等，
理由是：
∵△AOB，△CBD都是等邊三角形，
∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，
∴∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，

∴△OBC≌△ABD（SAS）；
②∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，AE=2OA=4
∴OC=OA+AC=6
∴點C（6，0）；
（2）∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，AD=OC，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴AE=2OA=4，OE=2

∴點E（0，2）
∴點E不會隨點C位置的變化而變化
∴點D在直線AE上移動
∵當點C從點O運動到點M時，
∴點D所走過的路徑為長度為AD=OC=6．
故答案為：（1）①全等，見解析；②點C（6，0）；（2）6．