Question

【題目】已知在△ABC和△ABD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝CB，BD＝6cm，F為線段BD上一動點，以每秒1cm的速度從B勻速運動到D，過F作直線FQ⊥AF，且FQ＝AF，點Q在直線AF的右側，設點F運動時間為t（s）．

（1）當△ABF為等腰三角形時，t＝　 　；

（2）當F點在線段BO上時，過Q點作QH⊥BD于點H，求證：△AOF≌△FHQ；

（3）當F點在線段OD上運動的過程中，△ABQ的面積是否變化？若不變，求出它的值．

Answer 1

【答案】（1）3s或6s；（2）見解析；（3）不變，9.

【解析】

（1）分兩種情況討論，由等腰三角形的性質可求BF的長，即可求t的值；

（2）由等腰三角形的性質可得∠AOB＝90°，由“AAS”可證△AOF≌△FHQ；

（3）由“AAS”可證△AOF≌△FHQ，可得OF＝QH＝t﹣3，由面積的和差關系可求解．

解：（1）∵∠BAD＝90°，AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB＝45°，

若AB＝AF時，即點F與點D重合，

∴BF＝BD＝6cm，

∴t＝＝6s，

若BF＝AF時，

∴∠ABF＝∠BAF＝45°，

∴∠AFB＝90°，

∴AF⊥BD，且AB＝AD

∴BF＝DF＝3cm，

∴t＝＝3s，

故答案為：3s或6s；

（2）如圖1，

∵∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝CB，

∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠BAC＝∠ACB＝45°，

∴∠AOB＝90°，

∵AF⊥FQ，QH⊥BD，

∴∠AFQ＝∠FHQ＝90°，

∴∠QFH+∠FQH＝90°，∠AFO+∠QFH＝90°，

∴∠AFO＝∠FQH，AF＝FQ，∠AOF＝∠FHQ＝90°

∴△AOF≌△FHQ（AAS）；

（3）不變，

理由如下：如圖2，過點Q作QH⊥BD，

∵∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝CB，

∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠BAC＝∠ACB＝45°，

∴∠AOB＝90°，

∵AF⊥FQ，QH⊥BD，

∴∠AFQ＝∠FHQ＝90°，

∴∠QFH+∠FQH＝90°，∠AFO+∠QFH＝90°，

∴∠AFO＝∠FQH，AF＝FQ，∠AOF＝∠FHQ＝90°

∴△AOF≌△FHQ（AAS）

∴OF＝QH＝t﹣3，

∵S△ABQ＝S△AOF+S△AFQ﹣S△BFQ＝BF×AO+×AF2﹣×BF×QH，

∴S△ABQ＝×t×3+ [32+（t﹣3）2]﹣×t×（t﹣3）＝9，

故△ABQ的面積不發生變化．