Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交軸、軸于點，直線與直線交于點,點為軸上一動點.

（1）求點的坐標；

（2）當的值最小時，求此時點的坐標，并求的最小值；

（3）在平面直角坐標系中是否存在點,使以點為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說出理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在在點使以點為頂點的四邊形是平行四邊形；其坐標是： 或或.

【解析】

（1）聯立兩直線解析式組成方程組，解得即可得出結論；

（2）先確定出點A關于y軸的對稱點A'，即可求出PA+PC的最小值，再用待定系數法求出直線A'C的解析式即可得出點P坐標；

（3）利用平行四邊形的對角線互相平分和中點坐標公式即可得出結論.

（1）根據題意聯立 解得 ∴.

（2）如圖，作點關于軸的對稱點,連接交 軸于點,點就是所求作的的值最小的點，

設 所在的直線為，

由題意可列：，

解得：，

∴直線 的解析式為，

令，則，

∴，

由點可求的最小值為： ,

（3）存在點,使以點為頂點的四邊形是平行四邊形.

如圖，作△ ,使△的三個頂點分別是其三邊的中點，

設，則，

解得，

∴，

同理，

∵，

∴ 在第一、三象限的角平分線上，且，

∴ ，

綜上所述，存在在點使以點為頂點的四邊形是平行四邊形；其坐標是：或或.