Question

【題目】如圖，已知拋物線與坐標軸分別交于點、和點，動點從原點開始沿方向以每秒個單位長度移動，動點從點開始沿方向以每秒個單位長度移動，動點、同時出發，當動點到達原點時，點、停止運動．

直接寫出拋物線的解析式：________；

求的面積與點運動時間的函數解析式；當為何值時，的面積最大？最大面積是多少？

當的面積最大時，在拋物線上是否存在點（點除外），使的面積等于的最大面積？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）當時，；（3）當的面積最大時，在拋物線上存在點（點除外），使的面積等于的最大面積，點的坐標為：或或

【解析】

（1）將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=-x2+bx+c即可求出拋物線的解析式為：y=-x2+3x+8；

（2）根據題意得：當D點運動t秒時，BD=t，OC=t，然后由點A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，從而可得OD=8-t，然后令y=0，求出點E的坐標為（-2，0），進而可得OE=2，DE=2+8-t=10-t，然后利用三角形的面積公式即可求△CED的面積S與D點運動時間t的函數解析式為：S=-t2+5t，然后轉化為頂點式即可求出最值為：S最大=；

（3）由（2）知：當t=5時，S最大=，進而可知：當t=5時，OC=5，OD=3，進而可得CD=，從而確定C（0，5），D（3，0）然后根據待定系數法求出直線CD的解析式為：y=-x+5，然后過E點作EF∥CD，交拋物線與點P，然后求出直線EF的解析式，與拋物線聯立方程組解得即可得到其中的一個點P的坐標，然后利用面積法求出點E到CD的距離為，然后過點D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN=，然后求出N的坐標，然后過點N作NH∥CD，與拋物線交與點P，然后求出直線NH的解析式，與拋物線聯立方程組求解即可得到其中的另兩個點P的坐標．

(1) 將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=-x2+bx+c，

得：，

解得：b=3，c=8，

∴拋物線的解析式為：y=-x2+3x+8，

故答案為：y=-x2+3x+8；

∵點、，

∴，，

令，得：，

解得：，，

∵點在軸的負半軸上，

∴點，

∴，

根據題意得：當點運動秒時，，，

∴，

∴，

∴，

即，

∴當時，；

由知：當時，，

∴當時，，，

∴，，

由勾股定理得：，

設直線的解析式為：，

將，，代入上式得：

，，

∴直線的解析式為：，

過點作，交拋物線與點，如圖，

設直線的解析式為：，

將代入得：，

∴直線的解析式為：，

將，與聯立成方程組得：

，

解得：，，

∴；

過點作，垂足為，

∵當時，，

∴，

過點作，垂足為，且使，過點作軸，垂足為，如圖，

可得，

∴，

即：，

解得：，

∴，

由勾股定理得：，

∴，

過點作，與拋物線交與點，如圖，

設直線的解析式為：，

將，代入上式得：，

∴直線的解析式為：，

將，與聯立成方程組得：

，

解得：，，

∴或，

綜上所述：當的面積最大時，在拋物線上存在點（點除外），使的面積等于的最大面積，點的坐標為：或或．