Question

【題目】對于平面直角坐標系中的動點和圖形，給出如下定義：如果為圖形上一個動點，，兩點間距離的最大值為，，兩點間距離的最小值為，我們把的值叫點和圖形間的“和距離”，記作（，圖形）.

（1）如圖，正方形的中心為點，.

①點到線段的“和距離”（，線段）=______；

②設該正方形與軸交于點和，點在線段上，（，正方形）=7，求點的坐標.

（2）如圖2，在（1）的條件下，過，兩點作射線，連接，點是射線上的一個動點，如果（，線段），直接寫出點橫坐標取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①；②的坐標為和；（2）.

【解析】

（1）①根據“和距離“的定義計算：OE是兩點間距離的最小值，OA是兩點間的最大值，相加可得結論；②分兩種情況：P在y軸的正半軸和負半軸上，根據“和距離“的定義，并由d（P，正方形ABCD）=7，列方程計算即可；

（2）分M在線段CD上和延長線上兩種情況，利用“和距離”的定義列方程可得結論．

（1）①如下圖所示，連接OA，

∵四邊形ABCD是正方形，且A（3，3），

∴，

∴

即d（O，線段AB）=

故答案為：；

②如下圖所示，設，

∵點在線段上，

∴.

當時，由題意可知，.

∴，，.

∵（，正方形），

∴.

∴.

在中，由勾股定理得，

解得.

∴.

當時，由對稱性可知.

綜上，的坐標為和.

（2）分兩種情況：

①當-3≤t<3時，如下圖所示，M在線段CD上，過M作MN⊥AC于N，連接AM，

∵M點橫坐標是t，

∴CM=t+3，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACD=45°，

∴△CMN是等腰直角三角形，

∴MN=CM=，

∴（，線段）=MN+MA=，

②當t≥3時，如下圖所示，M在線段CD的延長線上，過M作MN⊥AC于N，

同理可得MN=CM=，

∴（，線段）=MN+CM=，

∵M從C到D方向上運動時，MN+MA越來越大，

∴

解得：，

解得：，

∴點橫坐標的取值范圍是.