Question

【題目】如圖，四邊形中，已知，，對角線平分，，，則邊的長度為________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

如圖，作輔助線；首先證明△FBD∽△GDA，進而得到DGDF=BFAG①；設BE=λ，將①式中的線段分別用λ來表示，得到關于λ的方程，解方程即可解決問題．

解：如圖，

過點D作DE⊥AB于點E；在ED上截取EF=EB，EG=EA；

連接AG，BF；則∠BFE=∠AGE=45°，

∴∠BFD=∠DGA=135°；

∵BD平分∠ABC，且∠BCD=90°，

∴DE=DC=12，BE=BC；

∵∠FBD+∠BDF=∠BDF+∠ADG=45°，

∴∠FBD=∠GDA；

∴△FBD∽△GDA，

∴＝，即DGDF=BFAG；

設BE=λ，則DF=12-λ，EG=EA=10-λ；

BF=λ，AG=EG=（10-λ），

∴（λ+2）（12-λ）=（10-λ）λ，

整理得：λ2-10λ+24=0，

解得：λ=4或6，

即邊BC的長度為4或6．

由勾股定理得：BD2=BC2+CD2，

∴BD=4或6

故答案為：4或6．