Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=nAC，CD⊥AB于D，點P為AB邊上一動點，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別為E、F．

（1）若n=2，則=　　　　　　；

（2）當n=3時，連EF、DF，求的值；

（3）若，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）tanB=AC：BC的值 為

【解析】試題分析：（1）根據∠ACB＝90°，PE⊥AC，PF⊥BC，那么CEPF就是個矩形．得到CE＝PF從而不難求得CE：BF的值；

（2）可通過構建相似三角形來求解；

（3）可根據（2）的思路進行反向求解，即先通過EF，DF的比例關系，求出DE：DF的值．也就求出了CE：BF的值即tanB＝AC：BC的值．

試題解析：

（1）∵∠ACB＝90，PE⊥AC，PF⊥BC，

∴四邊形CEPF是矩形．

∴CE＝PF．

∴CE：BF＝PF：BF＝tanB＝AC：BC＝．

故答案是： ．

（2）連DE，∵∠ACB＝90°，PE⊥CA，PF⊥BC，

∴四邊形CEPF是矩形．

∴CE＝PF．

∴CE：BF＝CD：BD＝PF：BF＝tanB．

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠B＋∠A＝90°，∠ECD＋∠A＝90°，

∴∠ECD＝∠B，

∴△CED∽△BFD．

∴∠EDC＝∠FDB．

∵∠FDB＋∠CDF＝90°，

∴∠CDE＋∠CDF＝90°．

∴∠EDF＝90°．

∵DEDF＝tanB＝，設DE＝a，DF＝3a，

在直角三角形EDF中，根據勾股定理可得：EF＝a．

∴．

（3）可根據（2）的思路進行反向求解，即先通過EF，DF的比例關系，求出DE：DF的值．也就求出了CE：BF的值，即tanB＝＝．