Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于A（，0）、B（，0）兩點，且，與軸交于點，其中,是方程的兩個根。

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M是線段AB上的一個動點，過點M作MN∥BC，交AC于點N，連接CM，當△CMN的面積最大時，求點M的坐標；

（3）點D(4，k)在（1）中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點F，使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，如果存在，直接寫出所有滿足條件的點F的坐標，若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2，0）；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據一元二次方程解法得出A，B兩點的坐標，再利用交點式求出二次函數解析式；

（2）首先判定△MNA∽△BCA．得出=，進而得出函數的最值；

（3）分別根據當AF為平行四邊形的邊時，AF平行且等于DE與當AF為平行四邊形的對角線時，分析得出符合要求的答案．

試題解析：

（1）∵，

∴，

∴，

又∵拋物線過點A、B、C，

故設拋物線的解析式為，

將點C的坐標代入，求得

∴拋物線的解析式為

（2）設點M的坐標為（m，0），過點N作NH⊥x軸于點H

∵點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（6，0），

∴AB=8，AM=m+2。

∵MN∥BC，

∴. △MNA和△BCA相似，

∴，

∴，

∴

∴

∴當m=2時， 有最大值4。

此時，點M的坐標為（2，0）。

（3）∵點D（4，k）在拋物線上，

∴當x=4時，k=-4，

∴點D的坐標是（4，-4）。

如圖（2），當AF為平行四邊形的邊時，AF DE,AF=DE，

∵D（4，-4），∴E（0，-4），DE=4。

∴F(-6,0)，F(2,0)。

如圖（3），當AF為平行四邊形的對角線時，

設F(n,0)，則平行四邊形的對稱中心為（，0）。

∴E′的坐標為（n-6，4）。

把E′（n-6，4）代入，得

解得

∴， .