Question

【題目】如圖已知在中，，，直角的頂點是的中點，兩邊、分別交和于點、，給出以下五個結論正確的個數有（ ）

①；②；③≌；④是等腰直角三角形；⑤當在內繞頂點旋轉時（點不與、重合），.

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據等腰直角三角形的性質可得AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，根據同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，判定②正確，然后利用“角邊角”證明△APE和△CPF全等，根據全等三角形的可得AE=CF，判定①正確，再根據等腰直角三角形的定義得到△EFP是等腰直角三角形，判定④正確；根據全等三角形的判定判斷③正確；根據全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于△CPF的面積相等，然后求出四邊形AEPF的面積等于△ABC的面積的一半，判定⑤正確．

解：∵AB=AC，∠BAC=90°，點P是BC的中點，

∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，

∴∠APF+∠CPF=90°，

∵∠EPF是直角，

∴∠APF+∠APE=90°，

∴∠APE=∠CPF，故②正確；

在△APE和△CPF中，

，

∴△APE≌△CPF（ASA），

∴AE=CF，故①正確；

∵△AEP≌△CFP，同理可證△APF≌△BPE，故③正確；

∴△EFP是等腰直角三角形，故④正確；

∵△APE≌△CPF，

∴S△APE=S△CPF，

∴S四邊形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．，故⑤正確，

綜上所述，正確的結論有①②③④⑤共5個．

故選擇：D．