Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，頂點為D，且過點（2，﹣3a）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在一點P，過點P作PM⊥BD，垂足為點M，PM＝2DM？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

（3）在（2）的條件下，求△PMD的面積．

Answer 1

【答案】（1）（1，﹣4）;（2）存在，（﹣，﹣）;（3）.

【解析】

（1）將點的坐標（2，﹣3a）代入拋物線表達式得：﹣3a＝4a﹣4a﹣3，即可求解；

（2）利用△PGM∽△MHD，得＝2，分別求出線段長度即可求解；

（3）利用S＝PMDM，即可求解．

（1）將點的坐標（2，﹣3a）代入拋物線表達式得：﹣3a＝4a﹣4a﹣3，解得：a＝1，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3，

令y＝0，解得：x＝3或﹣1，

即點A、B的坐標分別為（﹣1，0）、（3，0），

函數對稱軸為x＝1，則點D的坐標為（1，﹣4）；

（2）存在．理由：

將點B、D的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b得：

，解得：，

即：直線BD的表達式為：y＝2x﹣6，

過點M作GH∥y軸，分別過點P、點D作x軸的平行線交于點G、H，

∵∠PMG+∠DMH＝90°，∠DMH+∠MDH＝90°，

∴∠PMG＝∠MDH，

∠PGM＝∠MHD＝90°，

∴△PGM∽△MHD，

∴＝2，

設點M、P的橫坐標分別為m，n，則其坐標分別為（m，2m﹣6）、（n，n2﹣2n﹣3），

則：PG＝m﹣n，MH＝2m﹣6﹣（﹣4）＝2m﹣2，

即：m﹣n＝4m﹣4…①，

GM＝n2﹣2n﹣3﹣2m+6＝n2﹣2n﹣2m+3，DH＝m﹣1，

即：n2﹣2n﹣2m+3＝2m﹣2…②

①②聯立并解得：n＝1或﹣（n＝1不合題意，舍去），

則n＝﹣，m＝，點M坐標為（，﹣），

故點P的坐標為（﹣，﹣）；

（3）由勾股定理得：

PM＝，

DM＝，

S＝PMDM＝．