Question

【題目】如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知點A的坐標為（﹣1，0），點O為坐標原點，OC=3OA，拋物線C1的頂點為G．

（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點G的坐標；

（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個單位，得到拋物線C2，設C2與x軸的交點為A′、B′，頂點為G′，當△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值：

（3）在（2）的條件下，如圖3，設點M為x軸正半軸上一動點，過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點，試探究在直線y=﹣1上是否存在點N，使得以P、Q、N為頂點的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點M，N的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3，點G的坐標為（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【解析】

（1）由點A的坐標及OC=3OA得點C坐標，將A、C坐標代入解析式求解可得；

（2）設拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x軸于點D，設BD′=m，由等邊三角形性質知點B′的坐標為（m+1，0），點G′的坐標為（1，m），代入所設解析式求解可得；

（3）設M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根據PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均為鈍角知△AOQ≌△PQN，延長PQ交直線y=﹣1于點H，證△OQM≌△QNH，根據對應邊相等建立關于x的方程，解之求得x的值從而進一步求解即可．

（1）∵點A的坐標為（﹣1，0），

∴OA=1，

∴OC=3OA，

∴點C的坐標為（0，3），

將A、C坐標代入y=ax2﹣2ax+c，得：，

解得：，

∴拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

所以點G的坐標為（1，4）；

（2）設拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，

過點G′作G′D⊥x軸于點D，設BD′=m，

∵△A′B′G′為等邊三角形，

∴G′D=B′D=m，

則點B′的坐標為（m+1，0），點G′的坐標為（1，m），

將點B′、G′的坐標代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：

，

解得：（舍），，

∴k=1；

（3）設M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），

∴PQ=OA=1，

∵∠AOQ、∠PQN均為鈍角，

∴△AOQ≌△PQN，

如圖2，延長PQ交直線y=﹣1于點H，

則∠QHN=∠OMQ=90°，

又∵△AOQ≌△PQN，

∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，

∴∠MOQ=∠HQN，

∴△OQM≌△QNH（AAS），

∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，

解得：x=（負值舍去），

當x=時，HN=QM=﹣x2+2x+2=，點M（，0），

∴點N坐標為（+，﹣1），即（，﹣1）；

或（﹣，﹣1），即（1，﹣1）；

如圖3，

同理可得△OQM≌△PNH，

∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，

解得：x=﹣1（舍）或x=4，

當x=4時，點M的坐標為（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，

∴點N的坐標為（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；

綜上點M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．