Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（點在點左側），經過點的直線：與軸交于點，與拋物線的另一個交點為，且．

（1）直接寫出點的坐標，并用含的式子表示直線的函數表達式（其中、用含的式子表示）．

（2）點為直線下方拋物線上一點，當的面積的最大值為時，求拋物線的函數表達式；

（3）設點是拋物線對稱軸上的一點，點在拋物線上，以點、、、為頂點的四邊形能否為矩形？若能，求出點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】

（1）令二次函數解析式為0，解一元二次方程即可得A、B的坐標，作DF⊥x軸于點F，根據平行線分線段定理可以求出點D的坐標，然后代入即可求一次函數解析式；

（2）點E作EH∥y軸，交直線l于點H，設出點E的坐標，則點H的坐標也可表示，HE即可求出，根據一次函數和二次函數的交點可求出點D的橫坐標，然后再根據已知條件三角形ADE的面積最大時求出a的值，二次函數解析式即可求出；

（3）根據矩形的性質分兩種情況討論：①若AD為矩形的邊，且點Q在對稱軸左側時②若AD為矩形的邊，且點Q在對稱軸右側時，求出即可.

解：（1）令，則，

解得，

∵點在點的左側，∴，

如圖1，作軸于，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴點的橫坐標為4，

代入得，，

∴，

把、坐標代入得，

解得，

∴直線的函數表達式為.

（2）如圖2，過點作軸，交直線于點，

設，則.

∴，

由得或，

即點的橫坐標為4，

∴ .

∴的面積的最大值為，

∴，

解得：.

∴拋物線的函數表達式為.

（3）已知，.

∵，

∴拋物線的對稱軸為，

設，

①若為矩形的邊，且點在對稱軸左側時，則，且，

則，

，則，

∵四邊形為矩形，

∴，

∴，

∴ ，

即，

∵，

∴，

∴，

②若為矩形的邊，且點在對稱軸右側時，則，且，

則，

此時點與點重合，不符合題意，舍去；

③若是矩形的一條對角線，則與互相平分且相等.

，，

∴，

∴.

∴

∴.

∵四邊形為矩形，

∴

∴

∴

即，

∵，

∴

∴

綜上所述，以點、、、為頂點的四邊形能成為矩形，點的坐標為或.