Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（0，4），動點A以每秒1個單位長的速度，從點O出發沿x軸的正方向運動，M是線段AC的中點．將線段AM以點A為中心，沿順時針方向旋轉90°，得到線段AB．過點B作x軸的垂線，垂足為E，過點C作y軸的垂線，交直線BE于點D．設運動時間為t秒．

（1）求證：△COA∽△AEB；

（2）設△BCD的面積為S當t為何值時，S＝；

（3）連接MB，當MB∥OA時，如果拋物線y＝ax2﹣10ax的頂點在△ABM的內部（不包括邊），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）t＝3或3+5時；（3）.

【解析】

(1)根據∠CAO＝∠ABE，∠COA＝∠AEB＝90°，即可證明；

(2)求△BCD的面積時，可以CD為底、BD為高來解，那么表示出BD的長是關鍵；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例關系，即可通過相似三角形的對應邊成比例求出BE的長，進一步得到BD的長，在表達BD長時，應分兩種情況考慮：①B在線段DE上，②B在ED的延長線上；

(3)首先將拋物線的解析式進行配方，可得到拋物線的頂點坐標，將其橫坐標分別代入直線MB、AB的解析式中，可得到拋物線對稱軸與這兩條直線的交點坐標，根據這兩個坐標即可判定出a的取值范圍．

(1)∵∠CAO+∠BAE＝90°，∠ABE+∠BAE＝90°，

∴∠CAO＝∠ABE，

∵∠COA＝∠AEB＝90°，

∴△CAO∽△ABE；

(2)由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：BE＝，AE＝2．

當0＜t＜8時，S＝CDBD＝(2+t)(4﹣)＝，

∴t1＝t2＝3，

當t＞8時，S＝CDBD＝(2+t)(﹣4)＝，

∴t1＝3+5，t2＝3﹣5(為負數，舍去)，

當t＝3或3+5時，S＝；

(3)過M作MN⊥x軸于N，則MN＝CO＝2．

當MB∥OA時，BE＝span>MN＝2，OA＝2BE＝4，

拋物線y＝ax2﹣10ax的頂點坐標為(5，﹣25a)，

它的頂點在直線x＝5上移動，

直線x＝5交MB于點(5，2)，交AB于點(5，1)，

∴1＜﹣25a＜2，

∴．