Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，BC＝8，點F是AB邊上一點（不與點B重合）△BCF的外接圓交對角線BD于點E，連結CF交BD于點G．

（1）求證：∠ECG＝∠BDC．

（2）當AB＝6時，在點F的整個運動過程中．

①若BF＝2時，求CE的長．

②當△CEG為等腰三角形時，求所有滿足條件的BE的長．

（3）過點E作△BCF外接圓的切線交AD于點P．若PE∥CF且CF＝6PE，記△DEP的面積為S1，△CDE的面積為S2，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①；②當BE為10，或時，△CEG為等腰三角形；（3）.

【解析】

（1）根據平行線的性質得出∠ABD＝∠BDC，根據圓周角定理得出∠ABD＝∠ECG，即可證得結論；

（2）根據勾股定理求得BD＝10，

①連接EF，根據圓周角定理得出∠CEF＝∠BCD＝90°，∠EFC＝∠CBD．即可得出sin∠EFC＝sin∠CBD，得出，根據勾股定理得到CF＝，即可求得CE＝；

②分三種情況討論求得：

當EG＝CG時，根據等腰三角形的性質和圓周角定理即可得到∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC，從而證得E、D重合，即可得到BE＝BD＝10；

當GE＝CE時，過點C作CH⊥BD于點H，即可得到∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，得到CG＝CD＝6．根據三角形面積公式求得CH＝，即可根據勾股定理求得GH，進而求得HE，即可求得BE＝BH＋HE＝；

當CG＝CE時，過點E作EM⊥CG于點M，由tan∠ECM＝．設EM＝4k，則CM＝3k，CG＝CE＝5k．得出GM＝2k，tan∠GEM＝，即可得到tan∠GCH＝=．求得HE＝GH＝，即可得到BE＝BH＋HE＝；

（3）連接OE、EF、AE、EF，先根據切線的性質和垂直平分線的性質得出EF＝CE，進而證得四邊形ABCD是正方形，進一步證得△ADE≌△CDE，通過證得△EHP∽△FBC，得出EH＝BF，即可求得BF＝6，根據勾股定理求得CF＝10，得出PE＝，根據勾股定理求得PH，進而求得PD，然后根據三角形面積公式即可求得結果．

（1）證明：∵AB∥CD．

∴∠ABD＝∠BDC，

∵∠ABD＝∠ECG，

∴∠ECG＝∠BDC．

（2）解：①∵AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，

∴BD＝＝10，

如圖1，連結EF，則∠CEF＝∠BCD＝90°，

∵∠EFC＝∠CBD．

∴sin∠EFC＝sin∠CBD，

∴

∴CF＝＝，

∴CE＝．

②Ⅰ、當EG＝CG時，∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC．

∴E與D重合，

∴BE＝BD＝10．

Ⅱ、如圖2，當GE＝CE時，過點C作CH⊥BD于點H，

∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，

∴CG＝CD＝6．

∵CH＝，

∴GH＝，

在Rt△CEH中，設HE＝x，則x2+（）2＝（x+）2

解得x＝，

∴BE＝BH+HE＝+＝；

Ⅲ、如圖2，當CG＝CE時，

過點E作EM⊥CG于點M．

∵tan∠ECM＝．

設EM＝4k，則CM＝3k，CG＝CE＝5k．

∴GM＝2k，tan∠GEM＝，

∴tan∠GCH＝＝tan∠GEM＝．

∴HE＝GH＝，

∴BE＝BH+HE＝，

綜上所述，當BE為10，或時，△CEG為等腰三角形；

（3）解：∵∠ABC＝90°，

∴FC是△BCF的外接圓的直徑，設圓心為O，

如圖3，連接OE、EF、AE、EF，

∵PE是切線，

∴OE⊥PE，

∵PE∥CF，

∴OE⊥CF，

∵OC＝OF，

∴CE＝EF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴∠ECF＝45°，EF=FC，

∴∠ABD＝∠ECF＝45°，

∴∠ADB＝∠BDC＝45°，

∴AB＝AD＝8，

∴四邊形ABCD是正方形，

∵PE∥FC，

∴∠EGF＝∠PED，

∴∠BGC＝∠PED，

∴∠BCF＝∠DPE，

作EH⊥AD于H，則EH＝DH，

∵∠EHP＝∠FBC＝90°，

∴△EHP∽△FBC，

∴，

∴EH＝BF，

∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，

∴△ADE≌△CDE，

∴AE＝CE，

∴AE＝EF，

∴AF＝2EH＝BF，

∴BF+BF＝8，

∴BF＝6，

∴EH＝DH＝1，CF＝＝10，

∴PE＝FC＝，

∴PH＝，

∴PD＝，

∴．