Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，連接OC，交⊙O于點E，弦AD∥OC．

（1）求證：點E是弧BD的中點；（2）求證：CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）連接OD．根據相等的圓心角所對的弧相等，證明∠COD＝∠COB后得證；

（2）證明OD⊥CD即可．通過證明△COD≌△COB得∠ODC＝∠OBC＝90°得證．

證明：（1）連接OD．

∵AD∥OC，

∴∠ADO＝∠COD，∠A＝∠COB．

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ADO．

∴∠COD＝∠COB．

∴弧BE＝弧DE，即點E是弧BD的中點．

（2）由（1）可知∠COD＝∠COB，

在△COD和△COB中，

，

∴△COD≌△COB，

∴∠CDO＝∠CBO．

∵BC與⊙O相切于點B，

∴BC⊥OB，即∠CBO＝90°．

∴∠CDO＝90°，即DC⊥OD．

∴CD是⊙O的切線．