Question

【題目】如圖，已知⊙O上依次有A、B、C、D四個點， = ，連接AB、AD、BD，弦AB不經過圓心O，延長AB到E，使BE=AB，連接EC，F是EC的中點，連接BF．
（1）若⊙O的半徑為3，∠DAB=120°，求劣弧 的長；
（2）求證：BF= BD；
（3）設G是BD的中點，探索：在⊙O上是否存在點P（不同于點B），使得PG=PF？并說明PB與AE的位置關系．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OB，OD，

∵∠DAB=120°，∴ 所對圓心角的度數為240°，

∴∠BOD=360°﹣240°=120°，

∵⊙O的半徑為3，

∴劣弧 的長為： ×π×3=2π；

（2）證明：連接AC，

∵AB=BE，∴點B為AE的中點，

∵F是EC的中點，∴BF為△EAC的中位線，

∴BF= AC，

∵ = ，

∴ + = + ，

∴ = ，

∴BD=AC，

∴BF= BD；

（3）解：過點B作AE的垂線，與⊙O的交點即為所求的點P，

∵BF為△EAC的中位線，

∴BF∥AC，

∴∠FBE=∠CAE，

∵ = ，

∴∠CAB=∠DBA，

∵由作法可知BP⊥AE，

∴∠GBP=∠FBP，

∵G為BD的中點，

∴BG= BD，

∴BG=BF，

在△PBG和△PBF中，

，

∴△PBG≌△PBF（SAS），

∴PG=PF．

【解析】（1）利用圓心角定理進而得出∠BOD=120°，再利用弧長公式求出劣弧 的長；（2）利用三角形中位線定理得出BF= AC，再利用圓心角定理得出 = ，進而得出BF= BD；（3）首先過點B作AE的垂線，與⊙O的交點即為所求的點P，得出BP⊥AE，進而證明△PBG≌△PBF（SAS），求出PG=PF．