Question

【題目】在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O為BC的中點。

（1）寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的大小關系并說明理由；
（2）如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動中保持AN＝BM，請判斷△OMN的形狀，并證明你的結論。

Answer 1

【答案】
（1） 解：∵∠BAC=90°，O為BC的中點，

∴BO=CO=AO=BC，

（2）解：△OMN是等腰直角三角形.理由如下：

連接OA，如圖，

∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴OA=OB=OC，OA平分∠BAC，∠B=45°，

∴∠NAO=∠B=45°，

在△NAO和△MBO 中，

AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ，

∴△NAO≌ △MBO，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，

∵AC=AB，O是BC的中點，
∴AO⊥BC，

即∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，

即∠NOM=90°，

∴△OMN是等腰直角三角形.

【解析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一邊得出答案.
（2）△OMN是等腰直角三角形.理由如下：連接OA，由等腰直角三角形性質得出OA=OB=OC，AO⊥BC，OA平分∠BAC，∠NAO=∠B=45°，再由SAS得到△NAO≌ △MBO，由全等三角形的性質得出ON=OM，∠AON=∠BOM，再根據垂直的定義得出∠BOM+∠AOM=90°，由等量代換得∠NOM=90°，從而得證.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°，以及對直角三角形斜邊上的中線的理解，了解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．