Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知點A在x軸的正半軸上，且與原點的距離為3，拋物線y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）經過點A，其頂點為C，直線y＝1與y軸交于點B，與拋物線交于點D（在其對稱軸右側），聯結BC、CD．

（1）求拋物線的表達式及點C的坐標；

（2）點P是y軸的負半軸上的一點，如果△PBC與△BCD相似，且相似比不為1，求點P的坐標；

（3）將∠CBD繞著點B逆時針方向旋轉，使射線BC經過點A，另一邊與拋物線交于點E（點E在對稱軸的右側），求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，C（2，﹣1）；（2）P（0，4﹣7）；（3）E（4，3）

【解析】

（1）把點A的坐標代入拋物線的解析式中可得：a的值，從而得拋物線的解析式，配方得頂點C的坐標；

（2）根據∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不為1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的長，從而得點P的坐標；

（3）連接AC，過E作EH⊥BD于H，先根據勾股定理的逆定理證明△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函數得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝ ，設EH＝m，則BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入拋物線的解析式，可得結論．

解：（1）∵點A在x軸的正半軸上，且與原點的距離為3，

∴A（3，0），

把A（3，0）代入拋物線y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，

∴a＝1，

∴拋物線的表達式為：y＝x2﹣4x+3，

y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴C（2，﹣1）；

（2）當y＝1時，x2﹣4x+3＝1，

解得：x1＝2﹣，x2＝2+，

由題意得：D（2+，1），

∵B（0，1），C（2，﹣1），

∴BC＝＝2，BD＝2+，

∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不為1，

只能△CBP∽△DBC，

∴，即，

∴BP＝8﹣4，

∴P（0，4﹣7）；

（3）連接AC，過E作EH⊥BD于H，

由旋轉得：∠CBD＝∠ABE，

∴∠EBD＝∠ABC，

∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝4，AC2＝12+12＝2，

∴AB2＝BC2+AC2，

∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，

∴tan∠ABC＝＝，

∴tan∠EBD＝＝，

設EH＝m，則BH＝2m，

∴E（2m，m+1），

∵點E在拋物線上，

∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，

4m2﹣9m+2＝0，

解得：m1＝2，m2＝（舍），

∴E（4，3）．