Question

已知，△ABC為等邊三角形，點P是射線CM上一點，連接AP，把△ACP繞點A按順時針方向旋轉60°，得△ABD，直線BD與射線CM交于點E，連接AE.
（1）如圖，①求∠BEC的度數；

②若AE=2BE，猜想線段CE、BE的數量關系，并證明你的猜想；
（2）如圖，若AE=mBE，求的值．

Answer 1

見試題解析．

試題分析：⑴ 為等邊三角形，點是射線上一點，連接，把△ACP繞點A按順時針方向旋轉60°，得，旋轉得到，所以≌，根據角的關系可得
⑵再由得到，已知所以即可得..
⑶有(2)證明可知,因為所以，即可得
試題解析：.(1)∵∵△ACP旋轉得到△ABD
∴△ACP≌△ABD
∴∠ACP=∠ABD              1分
∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵∠BCP+∠ACP=∠ACB
∴∠BCP+∠ABD=∠ACB=60°
∵∠BCP+∠ABD+∠ABC+∠BEC=180°
∴∠BEC=60°              2分
(２) CE=3BE              3分
在EC上截取EF=EB,連結BF
∵∠BEC=60°, EF=EB
∴△BEF是等邊三角形

∴∠EBF=60°,EF=EB=BF             4分
∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABC=60°,AB=BC
∵∠EBF-∠ABF=∠EBA, ∠ABC-∠ABF=∠FBC
在△EAB和△FBC中,

∴△EAB≌△FBC(SAS)
∴CF=AE              6分
∵AE=2BE
∴CF=2BE              7分
∴CE=CF+EF=3BE
(3)有(2)證明可知CF=AE，             9分
∵AE=mBE
∴CF=mBE             10分
∴CE=CF+EF=(m+1)BE              11分
∴              12分