Question

9．已知等邊三角形ABC中，E是AB邊上一動點（與A、B不重合），D是CB延長線上的一點，且DE=EC．
（1）當E是AB邊上中點時，如圖1，線段AE與DB的大小關系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）當E是AB邊上任一點時，小敏與同桌小聰討論后，認為（1）中的結論依然成立，并進行了如下解答：解：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F
（請你按照上述思路，補充完成全部解答過程）
（3）當E是線段AB延長線上任一點時，如圖3．（1）中的結論是否依然成立？若成立，請證明．若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質、等腰三角形的三線合一證明；
（2）證明△DBE≌△EFC，根據全等三角形的性質證明；
（3）作EF∥AC交BD于F，證明△DEF≌△CEB，根據全等三角形的性質證明即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，E是AB邊上中點，
∴AE=BE，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCA=30°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°，
∴∠EDB=∠BED，
∴BD=BE，
∴BD=AE，
故答案為：=；
（2）∵EF∥BC，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠CEF}\\{BE=CF}\\{∠BED=∠FCE}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB=EF=AE；
（3）如圖3，作EF∥AC交BD于F，
則△BEF為等邊三角形，
∴∠EFB=∠EBF=60°，
∴∠EFD=∠EBC=120°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
在△DEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFD=∠EBC}\\{∠D=∠ECB}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CEB，
∴DF=BC，
∴DF+FB=AB+BE，
∴BD=AE．

點評 本題考查的是等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質，掌握等邊三角形的性質、全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．