Question

【題目】已知，點O在線段AB上，AB=6，OC為射線，且∠BOC=45°．動P以每秒1個單位長度的速度從點O出發，沿射線OC做勻速運動．設運動時間為t 秒．

（1）如圖1，若AO=2．

①當 t=6秒時，則OP= ，S△ABP= ；

②當△ABP與△PBO相似時，求t的值；

（2）如圖2，若點O為線段AB的中點，當AP=AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQBP的值．

Answer 1

【答案】（1）①6；；②t=+4；（2）18.

【解析】

試題分析：（1）①如圖1中，作PE⊥AB于E．求出PE的長，根據S△APB=ABPE，即可計算．

②如圖1中，過點B作OC的垂線，垂足為H，由△ABP∽△PBO，得，即PB2=BOBA=24，推出BP=，再利用勾股定理求出OH、HP即可解決問題．

（2）如圖中，作OE∥AP，交BP于點E．由△QAO∽△OEP，得，即AQEP=EOAO，由三角形中位線定理得OE=3，推出AQEP=9，由此即可解決問題．

試題解析：（1）①如圖1中，作PE⊥AB于E．

在Rt△OPE中，OP=6，∠POE=45°，

∴PE=OPsin45°=3，

∴S△APB=ABPE=9，

②如圖1中，過點B作OC的垂線，垂足為H，

∵△ABP∽△PBO，

∴，

∴PB2=BOBA=24，

∴BP=，

在Rt△OHB中，∵∠BOH=45°，OB=4，

∴OH=HB=，

在Rt△PHB中，PH==4

∴OP=+4，

∴t=+4（秒）時，△ABP∽△PBO．

（2）如圖中，作OE∥AP，交BP于點E．

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B，

∴∠OEB=∠APB=∠B，

∵AQ∥BP，

∴∠QAB+∠B=180°．

又∵∠OEP+∠OEB=180°，

∴∠OEP=∠QAB，

又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，

∵∠B=∠QOP，

∴∠AOQ=∠OPE，

∴△QAO∽△OEP，

∴，即AQEP=EOAO，

由三角形中位線定理得OE=3，

∴AQEP=9，

AQBP=AQ2EP=2AQEP=18．