Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+3與軸、軸分別相交于點A、B，并與拋物線的對稱軸交于點，拋物線的頂點是點．

（1）求k和b的值；

（2）點G是軸上一點，且以點、C、為頂點的三角形與△相似，求點G的坐標；

（3）在拋物線上是否存在點E：它關于直線AB的對稱點F恰好在y軸上．如果存在，直接寫出點E的坐標，如果不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】(1)k=-,b=1;(2) (0,1)和

【解析】分析：（1） 由直線經(jīng)過點，可得．由拋物線的對稱軸是直線，可得，進而得到A、B、D的坐標，然后分兩種情況討論即可；

（3）設E（a，），E關于直線AB的對稱點E′為（0，b），EE′與AB的交點為P．則EE′⊥AB，P為EE′的中點，列方程組，求解即可得到a的值，進而得到答案．

詳解：（1） 由直線經(jīng)過點，可得．

由拋物線的對稱軸是直線，可得．

∵直線與x軸、y軸分別相交于點、，

∴點的坐標是，點的坐標是．

∵拋物線的頂點是點，∴點的坐標是．

∵點是軸上一點，∴設點的坐標是．

∵△BCG與△BCD相似，又由題意知，，

∴△BCG與△相似有兩種可能情況：

①如果，那么，解得，∴點的坐標是．

②如果，那么，解得，∴點的坐標是．

綜上所述：符合要求的點有兩個，其坐標分別是和 ．

（3）設E（a，），E關于直線AB的對稱點E′為（0，b），EE′與AB的交點為P，則EE′⊥AB，P為EE′的中點，∴ ，整理得：，∴(a-2)(a+1)=0，解得：a=－1或a=2．

當a=－1時，=；

當a=2時，=；

∴點的坐標是或．