Question

【題目】如圖，矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為（8，6），A、C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，設PC=m，已知點D在第一象限，且是兩直線y1=2x+6、y2=2x﹣6中某條上的一點，若△APD是等腰Rt△，則點D的坐標為

Answer 1

【答案】（4，2），（4，14），（ ， ），（ ， ）
【解析】解：易知：A（0，6），C（8，0），AB=8，OA=BC=6；
則點A正好位于直線y=2x+6上；
1）當點D位于直線y=2x+6上時，分三種情況：
①點P為直角頂點，結合圖形，顯然此時點D位于第四象限，不合題意；
②點D為直角頂點，那么∠DAP=45°，結合圖形2可知：∠DAB＞45°，
而點P位于線段BC上，故不存在這樣的等腰直角三角形；
③點A為直角頂點，如圖；
過D作DE⊥y軸于E，則△ADE≌△APB，得：AE=AB=8；
即點D的縱坐標為：14，代入y=2x+6中，可求得
點D（4，14）；
2）當點D位于直線y=2x﹣6上時，分三種情況：
①點A為直角頂點，結合圖形可知，此種情況顯然不合題意；
②點D為直角頂點，分兩種情況：
a、點D在矩形AOCB的內部時，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設D（x，2x﹣6）；
則OE=2x﹣6，AE=6﹣（2x﹣6）=12﹣2x，DF=EF﹣DE=8﹣x；
則△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：
12﹣2x=8﹣x，x=4；
∴D（4，2）；
b、點D在矩形AOCB的外部時，設D（x，2x﹣6）；
則OE=2x﹣6，AE=OE﹣OA=2x﹣6﹣6=2x﹣12，DF=EF﹣DE=8﹣x；
同1可知：△ADE≌△DPFAE=DF，即：
2x﹣12=8﹣x，x= ；
∴D（ ， ）；
③點P為直角頂點，顯然此時點D位于矩形AOCB的外部；
設點D（x，2x﹣6），則CF=2x﹣6，BF=2x﹣6﹣6=2x﹣12；
易證得△APB≌△PDF，得：
AB=PF=8，PB=DF=x﹣8；
故BF=PF﹣PB=8﹣（x﹣8）=16﹣x；
聯立兩個表示BF的式子可得：
2x﹣12=16﹣x，即x= ；
∴D（ ， ）；
綜合上面六種情況可得：存在符合條件的等腰直角三角形；
且D點的坐標為：（4，2），（4，14），（ ， ），（ ， ）．