Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若OB=5，BC=18，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD．

∵AB是直徑，

∴∠BDA=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

又∵∠CDA=∠CBD，

∴∠CDA+∠ODA=90°，即∠ODC=90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切線

（2）OC=BC﹣OB=18﹣5=13，

直角△OCD中，OD=OB=5，

CD= = =12，

∵BE是圓的切線，

∴∠EBC=90°，

同理∠ODC=90°，

∴∠EBC=∠ODC，

又∵∠C=∠C，

∴△EBC∽△ODC，

∴ = ，即 = ，

解得：BE= ．

【解析】（1）連接OD，根據AB所對的角是直角，以及等邊對等角，證明∠ODC=90°，則可以證得；（2）在直角△ODC中利用勾股定理求得CD的長，然后根據△ABC∽△ODC，利用相似三角形的對應邊相等即可求解．