Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm．D是BC邊上的一個動點，連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE，在點D變化的過程中，線段BE的最小值是(　　)

A.2.5B.C.D.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

由∠AEC＝90°知E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點C、可含點N），從而得BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點（圖中點E′點），作MF⊥AB于F，證△AMF∽△ABC，根據相似三角形的性質得到MF，根據勾股定理得到AF，BF，BM，于是得到結論．

解：如圖，取AC的中點M，以AC為直徑作圓M，交AB于點N，連接BM，交圓M于點E′，過M作MF⊥AB于點F，

由題意知，∠AEC＝90°，
∴E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點C、可含點N），
∴BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點（圖中點E′點），
∵AB＝13cm，AC＝12cm，BC＝5cm，
∴AC2＋BC2＝AB2，AM=CM=6
∴∠ACB＝90°，
作MF⊥AB于F，
∴∠AFM＝∠ACB＝90°，∠FAM＝∠CAB，
∴△AMF∽△ABC，
∴，即，解得：MF=，
∴AF＝，

則BF＝ABAF＝，
∴BM＝，

∵ME＝6，
∴BE長度的最小值BE′＝BMME′＝，
故答案為：C．