Question

（2012•泉港區質檢）如圖，A、B的坐標分別為（8，4），（0，4）．點C從原點O出發以每秒1單位的速度沿著x軸的正方向運動，設運動時間為t（0＜t＜5）．點D在x軸上，坐標為（t+3，0），過點D作x軸的垂線交AB于E點，交OA于G點，連接CE交OA于點F．
（1）填空：CD=

3

，CE=

5

，AE=

5-t

 （用含t的代數式表示）；
（2）當△EFG的面積為

12

5

時，點G恰好在函數y=

k

x

第一象限的圖象上．試求出函數y=

k

x

的解析式；
（3）設點Q的坐標為（0，2t），點P在（2）中的函數y=

k

x

的圖象上，是否存在以A、C、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，試求出點C、P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由OC=t，OD=t+3，即可求出CD的長；先由矩形的性質得出DE=4，然后在直角△CDE中，運用勾股定理即可求出CE的長；先由矩形的性質得出BE=t+3，再由AB=8即可求出AE的長；
（2）過點F作FH⊥DE于H，則△EFG的面積=

1

2

EG•FH．先運用待定系數法求出直線OA的解析式，再將G點的橫坐標（與D點的橫坐標相等）代入，得到G點的縱坐標，求出EG的長；先由AE∥OC，得出△AEF∽△OCF，根據相似三角形對應邊成比例列出等式AE：OC=EF：CF，得出EF=5-t，再由正弦函數的定義得出FH=EF•sin∠CED=

3(5-t)

5

，然后根據△EFG的面積為

12

5

列出關于t的方程，解方程求出t的值，得到G點的坐標為（4，2），則運用待定系數法即可求出過G點的反比例函數的解析式；
（3）當以A、C、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形時，首先根據這四個點的位置及0＜t＜5，判斷平行四邊形可能是?APCQ或?APQC，再由平行四邊形的對角線互相平分的性質得出兩對角線的中點重合．設P（x，

8

x

），根據中點坐標公式列出關于x、t的方程組，解方程組即可．

解答：解：（1）∵由題意，可知OC=t，OD=t+3，
∴CD=OD-OC=t+3-t=3；
在直角△CDE中，∵∠CDE=90°，CD=3，DE=OB=4，
∴CE=

CD2+DE2

=5；
∵AB=8，BE=OD=t+3，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t．
故答案為3，5，5-t；

（2）如圖，過點F作FH⊥DE于H，則△EFG的面積=

1

2

EG•FH．
∵O（0，0），A（8，4），
∴直線OA的解析式為y=

1

2

x，
當x=t+3時，y=

t+3

2

，∴G（t+3，

t+3

2

），
∴EG=DE-DG=4-

t+3

2

=

5-t

2

．
∵AE∥OC，
∴△AEF∽△OCF，
∴AE：OC=EF：CF，即（5-t）：t=EF：（5-EF），
解得EF=5-t，
∴FH=EF•sin∠CED=（5-t）×

3

5

=

3(5-t)

5

，
∴△EFG的面積=

1

2

EG•FH=

1

2

×

5-t

2

×

3(5-t)

5

=

3(5-t)2

20

，
∵△EFG的面積為

12

5

，
∴

3(5-t)2

20

=

12

5

，
解得t=1或9，
∵0＜t＜5，
∴t=1，
∴G（4，2）．
∵點G在函數y=

k

x

第一象限的圖象上，
∴k=4×2=8．
故所求函數的解析式為y=

8

x

；

（3）當點Q的坐標為（0，2t），點P在（2）中的函數y=

k

x

的圖象上時，存在以A、C、Q、P為頂點的平行四邊形，理由如下：
分兩種情況：設P（x，

8

x

）．
①當四邊形APCQ是平行四邊形時，則AC與PQ互相平分，即AC的中點與PQ的中點重合．
∵A（8，4），C（t，0），Q（0，2t），
∴

8+t 2 = x 2 4 2 = 8 x +2t 2

，
解得

x=5+ 21 t= 21 -3

，

x=5- 21 t=-3- 21

（舍去），
∴C（

21

-3，0），P（5+

21

，10-2

21

）．
②當四邊形APQC是平行四邊形時，則AQ與CP互相平分，即AQ的中點與CP的中點重合．
∵A（8，4），C（t，0），Q（0，2t），
∴

8 2 = t+x 2 4+2t 2 = 8 x 2

，
解得

x=5+ 21 t=3- 21

（舍去），

x=5- 21 t=3+ 21

（舍去）．
綜上可知，所求C點的坐標為（

21

-3，0），P點的坐標為（5+

21

，10-2

21

）．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題，其中涉及到的知識點有矩形的性質、函數解析式的求法、三角形的面積、平行四邊形的性質等，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合和分類討論等數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．