Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點，AC=2，過點C作⊙O的切線l，過點B作l的垂線BD，垂足為D，BD與⊙O交于點E．
（1）求∠AEC的度數；
（2）求證：四邊形OBEC是菱形．

Answer 1

（1）∵OA=OC=

1

2

AB=2，AC=2，
∴OA=OC=AC，
∴△OAC為等邊三角形，（1分）
∴∠AOC=60°，（2分）
∵圓周角∠AEC與圓心角∠AOC都對弧

AC

，
∴∠AEC=

1

2

∠AOC=30°；（3分）
（2）∵直線l切⊙O于C，
∴OC⊥CD，（4分）
又BD⊥CD，
∴OC∥BD，（5分）
∴∠B=∠AOC=60°，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠AEB=90°，又∠AEC=30°，
∴∠DEC=90°-∠AEC=60°，
∴∠B=∠DEC，
∴CE∥OB，（7分）
∴四邊形OBEC為平行四邊形，（8分）
又OB=OC，
∴四邊形OBEC為菱形．（9分）