Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，且a：b=3：4，a+b=c+4．
（1）求a、b長；
（2）若D是AB上的定點，以BD為直徑的⊙O恰好切AC于點E，求⊙O的半徑r；
（3）若⊙O的圓心O是AB上的動點，求⊙O的半徑r在怎樣的取值范圍內，能使⊙O與AC相切，且與BC所在直線相交？

Answer 1

（1）設a=3k，b=4k．
根據勾股定理，得c=5k．
又a+b=c+4，
3k+4k=5k+4，
k=2．
則a=6，b=8．

（2）連接OE，得到OE⊥AC．
則OE∥BC．
∴

OE

BC

=

OA

AB

，即

r

6

=

10-r

10

，r=

15

4

．

（3）設⊙O和AC，BC相切于點M，N．
連接OM，ON．
設此時圓的半徑是r，OB=x．
∵OM∥BC，
∴

OM

BC

=

OA

AB

．
即

r

6

=

10-x

10

．
∵ON∥AC，
∴

ON

AC

=

OB

AB

．
即

r

8

=

x

10

，
解得r=

24

7

．
又BC=6，
所以

24

7

＜r≤6．