Question

【題目】課本中有一道作業題：

有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？

小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題．

（1）如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算．

（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．

Answer 1

【答案】（1）這個矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm；

（2）S的最大值為2400mm2，此時PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）

【解析】

試題分析：（1）設PN=2y（mm），則PQ=y（mm），然后根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式求出即可；

（2）設PN=x，用PQ表示出AE的長度，然后根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據矩形的面積公式列式計算，再根據二次函數的最值問題解答．

解：（1）設矩形的邊長PN=2y（mm），則PQ=y（mm），由條件可得△APN∽△ABC，

∴=，

即=，

解得y=，

∴PN=×2=（mm），

答：這個矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm；

（2）設PN=x（mm），矩形PQMN的面積為S（mm2），

由條件可得△APN∽△ABC，

∴=，

即=，

解得PQ=80﹣x．

∴S=PNPQ=x（80﹣x）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400，

∴S的最大值為2400mm2，此時PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）．