Question

【題目】如圖，拋物線經過三點A（1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以B，P，M為頂點的三角形與△OBC相似（相似比不為1）？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）此拋物線的解析式為．（2）存在．符合條件的點P為（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）.

【解析】

試題分析：（1）本題需先根據已知條件，過C點，設出該拋物線的解析式為y=ax2+bx﹣2，再根據過A，B兩點，即可得出結果．

（2）本題首先判斷出存在，首先設出橫坐標和縱坐標，從而得出PA的解析式，再分三種情況進行討論，當=時和時，當P，C重合時，△APM≌△ACO，分別求出點P的坐標即可．

解：（1）∵該拋物線過點C（0，﹣2），

∴可設該拋物線的解析式為y=ax2+bx﹣2．

將A（1，0），B（4，0）代入，

得，解得，

∴此拋物線的解析式為．

（2）存在．如圖，設P點的橫坐標為m，

則P點的縱坐標為﹣m2+m﹣2，

當1＜m＜4時，AM=4﹣m，PM=﹣﹣m2+m﹣2，

又∵∠COA=∠PMA=90°，

∴①當=時，

∵C在拋物線上，

∴OC=2，

∵OA=4，

∴==2時，

∴△APM∽△ACO，

即4﹣m=2（﹣m2+m﹣2），

解得m1=2，m2=4（舍去），

∴P（2，1）．

②當時，△APM∽△CAO，即2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2，

解得m1=4，m2=5（均不合題意，舍去）

∴當1＜m＜4時，P（2，1），

當m＞4時，AM=m﹣4，PM=m2﹣m+2，

①，②=時，

把P（m，﹣m2+m﹣2），代入得：2（﹣m2+m﹣2）=m﹣4，2（m﹣4）=﹣m2+m﹣2，

解得：第一個方程的解是m=﹣2﹣2＜4（舍去）m=﹣2+2＜4（舍去），

第二個方程的解是m=5，m=4（舍去）

求出m=5，=﹣m2+m﹣2=﹣2，

則P（5，﹣2），

當m＜1時，AM=4﹣m，PM=﹣m2+m﹣2，

①，②=時，

則：2（m2﹣m+2）=4﹣m，2（4﹣m）=m2﹣m+2，

解得：第一個方程的解是m=0（舍去），m=4（舍去），第二個方程的解是m=4（舍去），m=﹣3，

m=﹣3時，﹣m2+m﹣2=﹣14，

則P（﹣3，﹣14），

綜上所述，符合條件的點P為（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14），